2951. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высота BH
и медиана AM
. Известно, что угол MCA
в два раза больше угла MAC
, BC=10
. Найдите AH
.
Ответ. 5.
Решение. Медиана HM
прямоугольного треугольника BHC
вдвое меньше гипотенузы BC
(см. задачу 1109), т. е. HM=\frac{1}{2}BC=MC=5
. Обозначим \angle MAC=\alpha
. Тогда \angle MCA=2\alpha
, а так как треугольник HMC
— равнобедренный, \angle MHC=\angle MCH=2\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AMH=\angle MHC-\angle MAC=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle MAH,
значит, треугольник AMH
— также равнобедренный. Следовательно, AH=HM=5
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2008-2009, XXXV, окружной этап, 8 класс