2956. Точка M
— середина хорды AB
. Хорда CD
пересекает AB
в точке M
. На отрезке CD
как на диаметре построена полуокружность. Точка E
лежит на этой полуокружности, и ME
— перпендикуляр к CD
. Найдите угол AEB
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Точка E
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому \angle CED=90^{\circ}
. Отрезок ME
— высота прямоугольного треугольника CED
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому EM^{2}=CM\cdot MD
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AM\cdot MB=CM\cdot MD
. Таким образом
EM^{2}=CM\cdot MD=AM\cdot MB=AM^{2}=BM^{2}.
Значит, EM=AM=BM
, т. е. медиана EM
треугольника AEB
равна половине стороны AB
. Следовательно, \angle AEB=90^{\circ}
(см. задачу 1188).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2008-2009, XXXV, окружной этап, 11 класс