2960. Стороны BC=a
, AC=b
, AB=c
треугольника ABC
образуют арифметическую прогрессию, причём a\lt b\lt c
. Биссектриса угла B
пересекает описанную окружность в точке B_{1}
. Докажите, что центр O
вписанной окружности делит отрезок BB_{1}
пополам.
Решение. По свойству арифметической прогрессии \frac{a+c}{2}=b
. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, а P
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
. Тогда
p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+c}{2}+\frac{b}{2}=b+\frac{b}{2}=\frac{3b}{2},~BP=p-AC=p-b=\frac{3}{2}b-b=\frac{b}{2}
(см. задачу 219).
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOB_{1}=\angle BAO+\angle ABO=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
В то же время
\angle OAB_{1}=\angle OAC+\angle CAB_{1}=\angle OAC+\angle CBB_{1}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2},
значит, треугольник OAB_{1}
— равнобедренный, OB_{1}=AB_{1}
.
Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B_{1}
на сторону AC
. Тогда M
— середина AC
и
AM=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2}=BP,
поэтому прямоугольные треугольники BOP
и AB_{1}M
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, BO=AB_{1}=OB_{1}
. Что и требовалось доказать.