2966. Окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внешним образом в точке F
. Прямая l
касается S_{1}
и S_{2}
в точках A
и B
соответственно. Прямая, параллельная прямой l
, касается S_{2}
в точке C
и пересекает S_{1}
в двух точках. Докажите, что точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Радиусы O_{2}B
и O_{2}C
окружности S_{2}
перпендикулярны параллельным прямым — касательным к окружности S_{2}
, значит, BC
— диаметр окружности S_{2}
. Поэтому \angle BFC=90^{\circ}
.
Пусть общая касательная к окружностям S_{1}
и S_{2}
, проходящая через точку F
, пересекает прямую l
в точке M
. Тогда MB=MF=MA
, т. е. медиана FM
треугольника AFB
равна половине стороны AB
. Следовательно, треугольник AFB
— прямоугольный, \angle AFB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Таким образом,
\angle AFC=\angle AFB+\angle BFC=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ},
т. е. точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Второй способ. Рассмотрим гомотетию с центром F
и коэффициентом, равным -\frac{r_{2}}{r_{1}}
, где r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. При этой гомотетии окружность S_{1}
переходит в окружность S_{2}
, а касательная l
к окружности S_{1}
— в параллельную l
касательную к окружности S_{2}
. Следовательно, точка A
переходит в точку C
, поэтому точка F
лежит на отрезке AC
.
Автор: Калинин А. Ю.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1993-94, XX, заключительный этап, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 450, с. 58