2976. Точки M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. На сторонах AD
и BC
выбраны соответственно точки X
и Y
так, что XD=3AX
и YC=3BY
. Оказалось, что \angle MXA=\angle MYB=90^{\circ}
. Докажите, что \angle XMN=\angle ABC
.
Указание. Пусть K
и L
— середины сторон AD
и BC
соответственно. Тогда KNLM
— параллелограмм (см. задачу 1204). Докажите, что это ромб.
Решение. Пусть K
и L
— середины сторон AD
и BC
соответственно. Тогда KNLM
— параллелограмм (см. задачу 1204). Кроме того, X
— середина отрезка AK
, а Y
— середина BL
, поэтому треугольники AMK
и BML
равнобедренные (их высоты MX
и MY
являются медианами). Значит, KM=AM=MB=ML
, следовательно, KNLM
— ромб. Его диагональ MN
— биссектриса угла KML
, а так как MX
и MY
— биссектрисы углов AMK
и MBL
, то
\angle XMN+\angle YMB=\frac{1}{2}(\angle AMK+\angle KML+\angle LMB)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle XMN=90^{\circ}-\angle YMB=\angle MBY=\angle ABC.
Что и требовалось доказать.