2985. На гипотенузе BC
прямоугольного треугольника ABC
выбрана точка K
так, что AB=AK
. Отрезок AK
пересекает биссектрису CL
в её середине. Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=36^{\circ}
, \angle B=54^{\circ}
Указание. Пусть отрезки CK
и AL
пересекаются в точке O
. Тогда CO
— медиана прямоугольного треугольника ACL
, проведённая из вершины прямого угла.
Решение. Пусть отрезки CK
и AL
пересекаются в точке O
. Медиана CO
прямоугольного треугольника ACL
равна половине его гипотенузы AL
(см. задачу 1109), значит, AO=OC=OL
, а \angle OCA=\angle OAC=\angle OAK
. Обозначим \angle OCA=\alpha
. Тогда \angle A=2\alpha
.
По теореме о внешнем угле треугольника находим, что
\angle BKC=\angle ACK+\angle KAC=\alpha+2\alpha=3\alpha,
а так как треугольник BCK
равнобедренный, то \angle B=\angle BKC=3\alpha
.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}
, поэтому 2\alpha+3\alpha=90^{\circ}
. Отсюда находим, что \alpha=18^{\circ}
. Следовательно,
\angle B=3\alpha=3\cdot18^{\circ}=54^{\circ},~\angle A=2\alpha=2\cdot18^{\circ}=36^{\circ}.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2009, LXXII, 8 класс
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 256, с. 36
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2010, II, 8 класс