3027. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S_{1}
и S_{2}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. (\sqrt{S}_{1}+\sqrt{S}_{2})^{2}
.
Указание. Коэффициент подобия указанных треугольников равен \frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
и S_{\triangle BKC}=S_{1}
, S_{\triangle AKD}=S_{2}
. Из подобия треугольников BKC
и DKA
следует, что
\frac{CK}{AK}=\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}},
поэтому
S_{\triangle ABK}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.
Аналогично
S_{\triangle DKC}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{1}+S_{2}+2S_{1}\cdot\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}=(\sqrt{S}_{1}+\sqrt{S}_{2})^{2}.
Примечание. Верно и обратное: если \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}
, то четырёхугольник есть трапеция или параллелограмм (см. задачу 5462).