5462. Площадь выпуклого четырёхугольника ABCD
равна S
, а его диагонали пересекаются в точке M
. Докажите, что если площади S_{1}
и S_{2}
треугольников MAB
и MCD
удовлетворяют условию \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}
, то данный четырёхугольник есть трапеция или параллелограмм.
Указание. См. задачи 4191 и 4190.
Решение. Пусть площади треугольников AMD
и BMC
равны x
и y
. Тогда xy=S_{1}S_{2}
(см. задачу 4191). Возведя в квадрат равенство \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}
, получим, что S_{1}+S_{2}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}=S
, или S_{1}+S_{2}+2\sqrt{xy}=S
.
С другой стороны S_{1}+S_{2}+x+y=S
, значит, x+y=2\sqrt{xy}
, или (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}=0
, откуда x=y
.
Из равенства площадей треугольников AMD
и BMC
следует параллельность прямых AB
и CD
(см. задачу 4190).
Примечание. Верно и обратное: в любой трапеции (или параллелограмме) верно равенство \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}
(см. задачу 3027).