3040. Площадь трапеции ABCD
равна 6. Пусть E
— точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E
и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC
в точке P
, а большее основание AD
— в точке Q
. Точка F
лежит на отрезке EC
, причём \frac{EF}{FC}=\frac{EP}{EQ}=\frac{1}{3}
. Найдите площадь треугольника EPF
.
Ответ. \frac{3}{32}
.
Указание. P
и Q
— середины сторон данной трапеции.
Решение. Из замечательного свойства трапеции (см. задачу 1513) следует, что P
и Q
— середины оснований BC
и AD
.
Из подобия треугольников BEC
и AED
следует, что
S_{\triangle BEC}=\frac{1}{9}S_{\triangle AED}.
Поэтому
S_{\triangle BEC}=\frac{1}{8}S_{ABCD}=\frac{1}{8}\cdot6=\frac{3}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle EPF}=\frac{1}{4}S_{\triangle EPC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{32}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1983, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 57