3049. Дан выпуклый четырёхугольник площади S
. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.
Ответ. 2S
.
Указание. Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника (см. задачу 3019).
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
, P
— точка внутри этого четырёхугольника; X
, Y
, Z
и T
— образы точки P
при симметрии относительно точек M
, N
, K
и L
соответственно.
Тогда MN
— средняя линия треугольника XPY
. Поэтому
S_{\triangle XPY}=4S_{\triangle MNP}.
Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ
, ZPT
и TPX
, получим, что
S_{XYZT}=4(S_{\triangle MNP}+S_{\triangle NKP}+S_{\triangle KLP}+S_{\triangle LMP})=4S_{MNKL},
а так как площадь параллелограмма MNKL
вдвое меньше площади четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3019), то
S_{XYZT}=4S_{MNKL}=4\cdot\frac{1}{2}S=2S.
