3050. Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
Указание. Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника (см. задачу 3019).
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
с диагоналями AC=BD
. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что
MN=KL=\frac{1}{2}AC,~ML=KN=\frac{1}{2}DB.
Значит, четырёхугольник MNKL
— ромб. Поэтому
S_{MNKL}=\frac{1}{2}MK\cdot NL,
S_{ABCD}=2S_{MNKL}=2\cdot\frac{1}{2}MK\cdot NL=MK\cdot NL
(см. задачу 3019).