3068. В треугольнике ABC
биссектрисы AD
и BE
пересекаются в точке O
. Найдите отношение площади треугольника ABC
к площади четырёхугольника ODCE
, зная, что BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Ответ. \frac{(a+c)(b+c)(a+b+c)}{ab(a+b+2c)}
.
Указание. \frac{S_{\triangle BOD}}{S_{\delta BEC}}=\frac{BD}{BC}\cdot\frac{BO}{BE}
(см. задачу 3007).
Решение. Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BD}{CB}=\frac{c}{b+c},~AE=\frac{bc}{a+c},~\frac{BO}{BE}=\frac{a+c}{a+b+c}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle BOD}=\frac{BD}{CB}\cdot\frac{BO}{BE}S_{\triangle BEC}=\frac{c}{b+c}\cdot\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a}{a+c}\cdot S=\frac{acS}{(b+c)(a+b+c)}.
Следовательно,
S_{ODCE}=S_{\triangle BEC}-S_{\triangle BOD}=\frac{aS}{a+c}-\frac{acS}{(b+c)(a+b+c)}=
=\frac{ab(a+b+2c)S}{(a+c)(b+c)(a+b+c)}.