3071. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Известно, что площади треугольников ABE
и CDE
равны между собой, диагональ AC
является биссектрисой угла A
, AB=4
. Найдите BC
.
Ответ. 4.
Указание. Докажите, что BC\parallel AD
(см. задачу 4190).
Решение. Треугольники ABD
и ACD
равновелики, так как
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle ACD}.
Поэтому их высоты, опущенные на общее основание AD
, равны. Следовательно, CB\parallel AD
. Тогда
\angle BCA=\angle DAC=\angle BAC,
т. е. треугольник ABC
— равнобедренный, BC=AB=4
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1985, вариант 2, № 6
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 139
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 681, с. 86