3071. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Известно, что площади треугольников ABE
и CDE
равны между собой, диагональ AC
является биссектрисой угла A
, AB=4
. Найдите BC
.
Ответ. 4.
Указание. Докажите, что BC\parallel AD
(см. задачу 4190).
Решение. Треугольники ABD
и ACD
равновелики, так как
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle ACD}.
Поэтому их высоты, опущенные на общее основание AD
, равны. Следовательно, CB\parallel AD
. Тогда
\angle BCA=\angle DAC=\angle BAC,
т. е. треугольник ABC
— равнобедренный, BC=AB=4
.