3080. Высота трапеции ABCD
равна 7, основания AD
и BC
равны соответственно 8 и 6. Через точку E
, лежащую на стороне CD
, проведена прямая BE
, которая делит диагональ AC
в точке O
в отношении \frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}
. Найдите площадь треугольника OEC
.
Ответ. \frac{48}{5}
.
Указание. S_{\triangle OEC}=\frac{CE}{CD}\cdot\frac{CO}{CA}S_{\triangle ACD}
.
Решение. Продолжим отрезок BE
до пересечения с прямой AD
в точке M
. Из подобия треугольников BOC
и MOA
следует, что \frac{BC}{AM}=\frac{CO}{OA}
. Отсюда находим, что
AM=BC\cdot\frac{OA}{OC}=3\cdot\frac{1}{2}BC=9,~DM=AM-AD=1.
Поэтому коэффициент подобия треугольников BCE
и MDE
равен \frac{BC}{DM}=6
. Значит,
\frac{CE}{DE}=6,~\frac{CE}{CD}=\frac{6}{7}.
Следовательно (см. задачу 3007),
S_{\triangle OEC}=\frac{CE}{CD}\cdot\frac{CO}{CA}S_{\triangle ACD}=\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot7=\frac{48}{5}.