3092. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) биссектрисы BD
и AF
пересекаются в точке O
. Отношение площади треугольника DOA
к площади треугольника BOF
равно \frac{3}{8}
. Найдите отношение \frac{AC}{AB}
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Используя свойство биссектрисы треугольника, выразите площади указанных треугольников через площадь треугольника ABC
Решение. Первый способ. Обозначим AD=DC=a
, AB=BC=b
. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{AD}=\frac{b}{a},~\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{2a}.
Поэтому
\frac{OD}{BD}=\frac{a}{a+b},~\frac{BO}{BD}=\frac{b}{a+b},~\frac{BF}{BC}=\frac{b}{2a+b}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AOD}=\frac{OD}{BD}\cdot S_{\triangle ABD}=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{1}{2}S,
S_{\triangle BOF}=\frac{BO}{BD}\cdot\frac{BF}{BC}S_{\triangle DBC}=\frac{b}{a+b}\cdot\frac{b}{2a+b}\cdot\frac{1}{2}S.
Из условия задачи следует, что
\frac{a}{a+b}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{3}{8}\cdot\frac{b}{a+b}\cdot\frac{b}{2a+b}\cdot\frac{1}{2}S,
или
8a(2a+b)=3b^{2},~16a^{2}+8ab-3b^{2}=0,~16\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+8\left(\frac{a}{b}\right)-3=0.
Отсюда находим, что \frac{a}{b}=\frac{1}{4}
. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{2a}{b}=\frac{1}{2}.
Второй способ. Опустим из центра O
вписанной окружности перпендикуляр OE
на сторону BC
. Тогда OD=OE
. Обозначим AD=DC=a
, AB=BC=b
, EF=x
.
Поскольку
S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}AD\cdot OD,~S_{\triangle OFB}=\frac{1}{2}BF\cdot OE,~S_{\triangle AOD}=\frac{3}{8}S_{\triangle OFB},
то
BF=\frac{8}{3}a=b-a-x.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AC}{FC}=\frac{AB}{BF},~\mbox{или}~\frac{2a}{a+x}=\frac{b}{b-a-x}.
Исключив x
из полученных уравнений, получим, что \frac{a}{b}=\frac{1}{4}
. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{2a}{b}=\frac{1}{2}.