3094. На сторонах AB
, AC
и BC
правильного треугольника ABC
расположены соответственно точки C_{1}
, B_{1}
и A_{1}
, причём треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
является правильным. Высота BD
треугольника ABC
пересекает сторону A_{1}C_{1}
в точке O
. Найдите отношение \frac{BO}{BD}
, если \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=n
.
Ответ. \frac{2(1-n^{2})}{3}
.
Указание. Обозначьте \frac{BC_{1}}{AB}=k
и выразите искомое отношение через k
, используя равенство
S_{\triangle BA_{1}C_{1}}=S_{\triangle BC_{1}O}+S_{\triangle BA_{1}O}.
Решение. Пусть S_{\triangle ABC}=S
. Треугольники BA_{1}C_{1}
, CB_{1}A_{1}
и AC_{1}B_{1}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Пусть \frac{BC_{1}}{BA}=k
. Тогда \frac{BA_{1}}{BC}=1-k
.
Обозначим через x
искомое отношение \frac{BO}{BD}
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle BC_{1}O}=kxS_{\triangle BAD}=\frac{1}{2}kxS,~S_{\triangle BA_{1}O}=\frac{1}{2}(1-k)xS,
S_{\triangle BA_{1}C_{1}}=k(1-k)S,~S_{\triangle BA_{1}C_{1}}=S_{\triangle BC_{1}O}+S_{\triangle BA_{1}O},
т. е.
\frac{1}{2}kxS+\frac{1}{2}(1-k)xS=k(1-k)S.
Отсюда находим, что x=2k(1-k)
.
Поскольку треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
подобны с коэффициентом n
, то S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=n^{2}S
. Поэтому
S_{\triangle BA_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}(S-S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}})=\frac{1}{3}S(1-n^{2}).
Таким образом, k(k-1)=\frac{1}{3}(1-n^{2})
. Следовательно,
x=2k(1-k)=\frac{2}{3}(1-n^{2}).