3105. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
взяты соответственно точки K
, L
и M
, причём AK:KB=2:3
, BL:LC=1:2
, CM:MA=3:1
. В каком отношении отрезок KL
делит отрезок BM
?
Ответ. 1:1
.
Указание. Пусть O
— точка пересечения отрезков BM
и KL
. Обозначьте \frac{BO}{BM}=x
и выразите площади треугольников KBO
и LBO
через x
и площадь треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— точка пересечения отрезков BM
и KL
. Обозначим \frac{BO}{BM}=x
, S_{\triangle ABC}=S
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle BKL}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{5}S,~S_{\triangle ABM}=\frac{1}{4}S,~S_{\triangle BCM}=\frac{3}{4}S,
S_{\triangle BOK}=\frac{3}{5}\cdot x\cdot S_{\triangle ABM}=\frac{3}{20}xS,~S_{\triangle BOL}=\frac{1}{3}xS_{\triangle BCM}=\frac{1}{4}xS.
Поскольку
S_{\triangle BKL}=S_{\triangle BOK}+S_{\triangle BOL},
то
\frac{1}{5}=\frac{3}{20}x+\frac{1}{4}x.
Отсюда находим, что x=\frac{1}{2}
.
Второй способ. Через точку B
проведём прямую l
, параллельную AC
. Пусть E
и F
— точки пересечения прямой KL
с прямыми l
и AC
соответственно. Положим AF=2t
.
Из подобия треугольников BKE
и AKF
получаем, что BE=\frac{3}{2}AF=3t
, а из подобия треугольников CLF
и BLE
— CF=2BE=6t
. Тогда
AC=CF-AF=6t-2t=4t,~MF=AM+AF=\frac{1}{4}AC+AF=t+2t=3t.
Из равенства треугольников BOE
и MOF
получаем, что BO=OM
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6.13, с. 47