3106. В треугольнике со сторонами a
, b
и c
проведены биссектрисы, точки пересечения которых с противолежащими сторонами являются вершинами второго треугольника. Докажите, что отношение площадей этих треугольников равно \frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}
.
Указание. Биссектриса делит основание треугольника на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.
Решение. Пусть AM
, BN
и CK
— биссектрисы треугольника ABC
и AB=c
, AC=b
и BC=a
. Если S_{\triangle ABC}=S
, то
S_{\triangle AKN}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AK}{KB}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~\frac{AN}{NC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}.
Поэтому
\frac{AK}{AB}=\frac{b}{a+b},~\frac{AN}{AC}=\frac{c}{a+c}.
Следовательно (см. задачу 3007),
S_{\triangle AKN}=\frac{bcS}{(a+b)(a+c)}.
Аналогично для треугольников BKM
и CMN
. Тогда
S_{\triangle KMN}=S-\frac{bcS}{(a+b)(a+c)}-\frac{acS}{(a+b)(b+c)}-\frac{abS}{(a+c)(b+c)}=\frac{2abcS}{(a+b)(a+c)(b+c)}.