3125. Точки E
, F
, M
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, AC
треугольника ABC
. Отрезок AE
составляет одну треть стороны AB
, отрезок BF
составляет одну шестую стороны BC
, отрезок AM
составляет две пятых стороны AC
. Найдите отношение площади треугольника EFM
к площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{23}{90}
.
Указание. \frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AE}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}
(см. задачу 3007).
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle BEF}=\frac{BE}{AB}\cdot\frac{BF}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}S=\frac{1}{9}S
(см. задачу 3007). Аналогично S_{\triangle AEM}=\frac{2}{15}S
и S_{\triangle CMF}=\frac{1}{2}S
. Следовательно,
S_{\triangle EFM}=S-\frac{1}{9}S-\frac{2}{15}S-\frac{1}{2}S=\frac{23}{90}S.