3127. ABCD
— параллелограмм. Точки E
, F
, P
, H
лежат соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
, AD
. Отрезок AE
составляет \frac{1}{3}
стороны AB
, отрезок BF
составляет \frac{1}{3}
стороны BC
, а точки P
и H
делят пополам стороны, на которых они лежат. Найдите отношение площади четырёхугольника EFPH
к площади параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{37}{72}
.
Указание. S_{\triangle BEF}=\frac{BE}{AB}\cdot\frac{BF}{BC}S_{\triangle ABC}
.
Решение. Пусть S_{ABCD}=S
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S,~S_{\triangle BEF}=\frac{BE}{AB}\cdot\frac{BF}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{9}S
(см. задачу 3007). Аналогично
S_{\triangle PDH}=\frac{1}{8}S,~S_{\triangle FCP}=\frac{1}{6}S,~S_{\triangle EAH}=\frac{1}{12}S.
Следовательно,
S_{EFPH}=S-\frac{1}{9}S-\frac{1}{8}S-\frac{1}{6}S-\frac{1}{12}S=\frac{37}{72}S.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1974, № 2, вариант 3