3144. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD
, площадь которого равна 1, взяты точки: K
— на AB
, L
— на BC
, M
— на CD
, N
— на AD
. При этом \frac{AK}{KB}=2
, \frac{BL}{LC}=\frac{1}{3}
, \frac{CM}{MD}=1
, \frac{DN}{NA}=\frac{1}{5}
. Найдите площадь шестиугольника AKLCMN
.
Ответ. \frac{11}{12}
.
Указание. S_{\triangle BKL}=\frac{BK}{AB}\cdot\frac{BL}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}
(см. задачу 3007).
Решение. Проведём диагональ AC
. Поскольку (см. задачу 3007)
S_{\triangle BKL}=\frac{BK}{AB}\cdot\frac{BL}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{12}\cdot S_{\triangle ABC},
S_{\triangle DMN}=\frac{DN}{AD}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot S_{\triangle ADC}=\frac{1}{12}\cdot S_{\triangle ADC},
S_{\triangle BKL}+S_{\triangle DMN}=\frac{1}{12}\cdot(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{12},
то
S_{AKLCMN}=S_{ABCD}-(S_{\triangle BKL}+S_{\triangle DMN})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}.