3146. Дан треугольник ABC
, площадь которого равна 1. На медианах AK
, BL
и CN
взяты точки P
, Q
и R
так, что \frac{AP}{PK}=1
, \frac{BQ}{QL}=\frac{1}{2}
, \frac{CR}{RN}=\frac{5}{4}
. Найдите площадь треугольника PQR
.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle MPQ}=\frac{MP}{MA}\cdot\frac{MQ}{MB}S_{\triangle AMB}
(см. задачу 3007).
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
MP=AM-AP=\frac{2}{3}AK-\frac{1}{2}AK=\frac{1}{6}AK=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}AM=\frac{1}{4}AM,
MQ=\frac{1}{3}BL=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}BM=\frac{1}{2}BM,
MR=MC-RC=\frac{2}{3}NC-\frac{5}{9}NC=\frac{1}{9}NC=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}MC=\frac{1}{6}MC.
Поэтому (см. задачу 3007)
S_{\triangle MPQ}=\frac{MP}{MA}\cdot\frac{MQ}{MB}S_{\triangle AMB}=\frac{1}{8}S_{\triangle AMB}=\frac{1}{24},
S_{\triangle QMR}=\frac{MQ}{MB}\cdot\frac{MR}{MC}S_{\triangle BMC}=\frac{1}{12}S_{\triangle BMC}=\frac{1}{36},
S_{\triangle PMR}=\frac{MP}{MA}\cdot\frac{MR}{MC}S_{\triangle AMC}=\frac{1}{24}S_{\triangle AMC}=\frac{1}{72}.
Следовательно,
S_{\triangle PQR}=S_{\triangle MPQ}+S_{\triangle QMR}+S_{\triangle PMR}=\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{72}=\frac{1}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1970, вариант 3, № 4,
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1999 (май), вариант 1, № 5