3169. В треугольнике ABC
проведены две высоты BM
и CN
, причём AM:CM=2:3
. Найдите отношение площадей треугольников BMN
и ABC
, если острый угол BAC
равен \alpha
.
Ответ. \left|\cos^{2}\alpha-\frac{2}{5}\right|
.
Указание. Треугольник MAN
подобен треугольнику BAC
с коэффициентом |\cos\alpha|
(см. задачу 19).
Решение. Пусть точка N
находится на стороне AB
. Треугольник MAN
подобен треугольнику BAC
с коэффициентом \cos\alpha
(см. задачу 19), поэтому
S_{\triangle MAN}=S_{\triangle ABC}\cdot\cos^{2}\alpha.
Следовательно,
S_{\triangle BMN}=S_{\triangle BAM}-S_{\triangle MAN}=\frac{2}{5}S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABC}\cos^{2}\alpha=\left(\cos^{2}\alpha-\frac{2}{5}\right)S_{\triangle ABC}.
Если точка N
расположена на продолжении стороны AB
за точку B
, то аналогично получим, что
S_{\triangle BMN}=\left(\frac{2}{5}-\cos^{2}\alpha\right)S_{\triangle ABC}.