3172. Биссектрисы углов A
и C
треугольника ABC
пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A_{0}
и C_{0}
соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC
параллельно стороне AC
, пересекается с прямой A_{0}C_{0}
в точке P
. Докажите, что прямая PB
касается описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
, \gamma
. Пусть O
— центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) треугольника ABC
. Тогда
\angle BOA_{0}=\angle OAB+\angle OBA=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2},~\angle OBA_{0}=\angle CBA_{0}+\angle OBC=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2},
поэтому треугольник OBA_{0}
— равнобедренный, A_{0}B=A_{0}O
. Аналогично докажем, что треугольник OBC_{0}
— также равнобедренный, C_{0}B=C_{0}A
. Точки A_{0}
и C_{0}
равноудалены от концов отрезка OB
, значит, прямая A_{0}C_{0}
— серединный перпендикуляр к этому отрезку, а так как точка P
лежит на этой прямой, то PB=PO
, т. е. треугольник OBP
— равнобедренный. Тогда
\angle PBA_{0}=\angle PBO-\angle OBA_{0}=\angle POB-\angle BOA_{0}=\angle POA_{0}=\angle OAC=\frac{\alpha}{2}=\angle BAA_{0}.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), PB
— касательная к окружности, описанной около треугольника ABC
.