3186. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и BC
соответственно, точка H
— основание высоты, опущенной из вершины B
. Описанные окружности треугольников AHN
и CHM
пересекаются в точке P
(отличной от H
). Докажите, что прямая PH
проходит через середину отрезка MN
.
Решение. Пусть прямая MN
пересекает описанную окружность треугольника AHN
в точке D
, а описанную окружность треугольника CHM
— в точке E
. Поскольку MN\parallel AC
, четырёхугольник MECH
— трапеция, вписанная в окружность. Значит, это равнобедренная трапеция. Поэтому
CE=MH,~\angle ECH=\angle MHC,
а так как HN
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 1109)
HN=\frac{1}{2}BC=CN,~\angle CHN=\angle HCN.
Следовательно,
\angle ECN=\angle ECH-\angle HCN=\angle MHC-\angle CHN=\angle NHM,
и треугольники ECN
и MHN
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, EN=MN
. Аналогично, DM=MN
.
Пусть прямые PH
и DE
пересекаются в точке S
. Обозначим DM=MN=EN=a
, MS=x
, NS=y
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд PS\cdot SH=DS\cdot SN
и PS\cdot SH=ES\cdot SM
, поэтому DS\cdot SN=ES\cdot SM
, или (a+x)y=(a+y)x
. Отсюда получаем, что x=y
. Следовательно, S
— середина отрезка MN
. Что и требовалось доказать.
Автор: Филимонов В. П.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2006-07, XXXIII, заключительный этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 5, с. 50