3190. Пусть S
— площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
; h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты, опущенные на стороны a
, b
и c
соответственно; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a
, b
и c
соответственно. Докажите, что:
а) S^{3}\leqslant\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{3}(abc)^{2}
;
б) \sqrt[{3}]{{h_{a}h_{b}h_{c}}}\leqslant\sqrt[{4}]{{3}}\sqrt{S}\leqslant\sqrt[{3}]{{r_{a}r_{b}r_{c}}}
.
Решение. Пусть углы треугольника, противолежащие сторонам, равным a
, b
и c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
a) Перемножив равенства
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,~S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,~S=\frac{1}{2}ac\sin\beta,
получим
S^{3}=\frac{(abc)^{2}}{8}\cdot\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{(abc)^{2}}{8}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{3}(abc)^{2}
(см. задачу 1415). Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
б) Поскольку
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},
то
h_{a}h_{b}h_{c}=\frac{8S^{3}}{abc}~\Rightarrow~(h_{a}h_{b}h_{c})^{3}=\frac{(2S)^{6}}{(abc)^{2}}~\Rightarrow~(h_{a}h_{b}h_{c})^{2}\leqslant\frac{(2S)^{6}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{3}}{S^{3}}=(\sqrt{3}S)^{3},
а так как (см. задачи 6144б и 3227), то
(r_{a}r_{b}r_{c})^{2}\geqslant(\sqrt{3}S)^{3}.
Значит,
(h_{a}h_{b}h_{c})^{2}\leqslant(\sqrt{3}S)^{3}\leqslant(r_{a}r_{b}r_{c})^{2}.
Следовательно,
\sqrt[{3}]{{h_{a}h_{b}h_{c}}}\leqslant\sqrt[{4}]{{3}}\sqrt{S}\leqslant\sqrt[{3}]{{r_{a}r_{b}r_{c}}}.
Что и требовалось доказать.