3196. Пусть C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
— такие точки на сторонах соответственно AB
, BC
, CA
треугольника ABC
, для которых
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=p,~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=q,~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=r.
Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
, к площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{(1-pqr)^{2}}{(1+p+pq)(1+q+qr)(1+r+pr)}
.
Примечание. Заметим, что если pqr=1
, то полученное отношение равно 0
. Отсюда следует теорема Чевы (см. задачу 1621).
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 190, с. 177
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.13, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.13, с. 83