3201. Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?
б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?
Ответ. а) Нет; б) 3 или \sqrt{5}-2
.
Указание. Если точки M
и N
расположены соответственно на сторонах AC
и AB
треугольника ABC
, то
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AN}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}.
Решение. Пусть точки M
и N
расположены соответственно на сторонах AC
и AB
треугольника ABC
, K
— точка пересечения отрезков BM
и CN
. Докажем, что три полученных треугольника BKN
, BKC
и CKM
не могут быть равновеликими.
Предположим, что S_{\triangle BKN}=S_{\triangle BKC}=S_{\triangle CKM}
. Тогда точка K
— середина CN
и BM
. Следовательно, четырёхугольник BNMC
— параллелограмм, т. е. BN\parallel CM
, что невозможно.
Пусть S_{AMKN}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle CKM}=s
. Высоты равновеликих треугольников BNC
и BMC
, проведённые из вершин N
и M
равны, поэтому NM\parallel BC
.
Обозначим
\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{NM}{BC}=\frac{MK}{KB}=x.
Тогда (см. задачу 3007)
\frac{1}{2}=\frac{S_{\triangle BKN}}{S_{\triangle BMA}}=\frac{BN}{AB}\cdot\frac{BK}{BM}=(1-x)\cdot\frac{1}{1+x}=\frac{1-x}{1+x}.
Отсюда находим, что x=\frac{1}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle BKC}=\frac{CK}{KN}S_{\triangle BKN}=3s.
Легко проверить, что если \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}
, то
S_{AMKN}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle CKM}.
Пусть теперь S_{AMKN}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle BKC}=s
. Если S_{\triangle CKM}=q
, то
\frac{AN}{BN}=\frac{S_{\triangle ACN}}{S_{\triangle BCN}}=\frac{s+q}{2s},~\frac{BK}{KM}=\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{\triangle CKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{s}{q}.
Следовательно,
\frac{1}{2}=\frac{BN}{AB}\cdot\frac{BK}{BM}=\frac{2s}{3s+q}\cdot\frac{s}{s+q}.
После упрощения получим квадратное уравнение
q^{2}+4sq-s^{2}=0,
из которого находим, что q=s(\sqrt{5}-2)
.
Докажем теперь, что если точка N
на стороне AB
треугольника ABC
такова, что \frac{AN}{NB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
, а точка K
— середина отрезка CN
, то S_{AMKN}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle BKC}
.
Пусть прямая BK
пересекает сторону AC
в точке M
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения с прямой BK
в точке P
. Из равенства треугольников PKC
и BKN
следует, что PC=BN
, а из подобия треугольников PMC
и BMA
—
\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{PC}=\frac{AB}{BN}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.
С помощью аналогичных рассуждений найдём, что
\frac{BK}{KM}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle BKN}}{S_{\triangle BMA}}=\frac{BN}{AB}\cdot\frac{BK}{BM}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{1}{2}.
Таким образом, S_{AMKN}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle BKC}
. Аналогично для случая, когда
S_{AMKN}=S_{\triangle BKC}=S_{\triangle CKN}.