3203. Окружность с диаметром AE
, лежащем на катете AC
прямоугольного треугольника ABC
, касается гипотенузы BC
в точке D
. Прямые DE
и AB
пересекаются в точке F
. Докажите, что BF=AB
.
Указание. Точка F
лежит на серединном перпендикуляре к катету AD
прямоугольного треугольника ADF
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AE
, значит, \angle ADF=\angle ADE=90^{\circ}
. Прямая AF
, проходящая через точку A
, лежащую на окружности, перпендикулярна диаметру EA
, поэтому AF
— касательная к окружности (см. задачу 1735).
Точка B
лежит на гипотенузе AF
прямоугольного треугольника ADF
, причём BA=BD
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, точка B
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
, параллельном DF
. Следовательно, B
— середина AF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 56, с. 35