3204. Докажите, что если два выпуклых четырёхугольника расположены так, что середины их сторон совпадают, то их площади равны.
Указание. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника вдвое больше площади четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного (см. задачу 3019).
Решение. Пусть ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— выпуклые четырёхугольники, M
— середина сторон AB
и A_{1}B_{1}
, N
— середина сторон BC
и B_{1}C_{1}
, K
— середина сторон CD
и C_{1}D_{1}
, L
— середина сторон AD
и A_{1}D_{1}
. Тогда площадь каждого из указанных четырёхугольников равна удвоенной площади параллелограмма MNKL
. Докажем это, например, для четырёхугольника ABCD
. Действительно,
S_{\triangle ALM}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD},~S_{\triangle CKN}=\frac{1}{4}S_{\triangle CBD}.
Поэтому
S_{\triangle ALM}+S_{\triangle CKN}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD})=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично
S_{\triangle DKL}+S_{\triangle BMN}=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Следовательно,
S_{MNKL}=S_{ABCD}-(S_{\triangle ALM}+S_{\triangle CKN})-(S_{\triangle DKL}+S_{\triangle BMN})=
=S_{ABCD}-\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 2, с. 40, задача 18