3206. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
Указание. Если точки P
и Q
принадлежат сторонам XY
и XZ
треугольника XYZ
, то
S_{\triangle XPQ}=\frac{XP}{XY}\cdot\frac{XQ}{XZ}S_{\triangle XYZ}.
Решение. Первый способ. Пусть точки M
, N
, K
, L
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
(рис. 1) и S_{MNKL}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
. Обозначим
AM=x,~AL=y,~BN=z,~DK=t,~AB=CD=a,~AD=BC=b.
Тогда (см. задачу 3007)
\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\triangle AML}+S_{\triangle BMN}+S_{\triangle CNK}+S_{\triangle DKL}=
=\frac{x}{a}\cdot\frac{y}{b}S_{\triangle ABD}+\frac{a-x}{a}\cdot\frac{z}{b}S_{\triangle ABC}+\frac{a-t}{a}\cdot\frac{b-z}{b}\cdot S_{\triangle BCD}+\frac{t}{a}\cdot\frac{b-y}{b}S_{\triangle ACD}=
=\frac{1}{2}S_{ABCD}\cdot\frac{xy+(a-x)z+(a-t)(b-z)+t(b-y)}{ab}.
Поэтому
xy+(a-x)z+(a-t)(b-z)+t(b-y)=ab,
или
xy-xz+zt-ty=0,~\mbox{или}~(y-z)(x-t)=0.
Отсюда находим, что x=t
или y=z
.
В первом случае MK\parallel AD
, во втором — LN\parallel AB
.
Второй способ. (Решение А.Эстерова.) Пусть точки M
, N
, K
, L
принадлежат сторонам соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
(рис. 2) и S_{MNKL}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
.
Предположим, что LN
не параллельно AB
. Проведём через точку L
прямую, параллельную AB
, до пересечения со стороной BC
в точке N_{1}
. Тогда
S_{MN_{1}KL}=S_{\triangle MN_{1}L}+S_{\triangle N_{1}KL}=\frac{1}{2}S_{ABN_{1}L}+\frac{1}{2}S_{LN_{1}CD}=
=\frac{1}{2}(S_{ABN_{1}L}+S_{LN_{1}CD})=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{MNKL}.
Поскольку треугольник MLK
— общая часть четырёхугольников MNLK
и MN_{1}LK
, то S_{MN_{1}K}=S_{\triangle MNK}
, а так как треугольники MN_{1}K
и MNK
имеют общее основание MK
, то их высоты, проведённые из точек N_{1}
и N
, равны. Следовательно, MK\parallel BC
.