3209. Два треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
, площади которых равны соответственно S_{1}
и S_{2}
, расположены так, что лучи A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
, B_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
, C_{1}A_{1}
и C_{2}A_{2}
противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
.
Ответ. \frac{1}{4}(\sqrt{S_{1}}-\sqrt{S_{2}})^{2}
.
Указание. Найдите коэффициенты подобия для каждой пары указанных треугольников.
Решение. Пусть M
, N
, K
— середины отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
соответственно. Треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
, A_{2}B_{2}C_{2}
и MNK
подобны, так как их углы соответственно равны.
Пусть B_{1}C_{1}=a_{1}
, B_{2}C_{2}=a_{2}
, a_{2}\gt a_{1}
. Тогда
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1}}}.
Поскольку отрезок KN
соединяет середины K
и N
диагоналей C_{1}C_{2}
и B_{1}B_{2}
трапеции B_{1}C_{1}B_{2}C_{2}
, то KN=\frac{1}{2}(a_{2}-a_{1})
(см. задачу 1226). Тогда
S_{\triangle MNK}=\left(\frac{KN}{B_{1}C_{1}}\right)^{2}S_{1}=\left(\frac{a_{2}-a_{1}}{2a_{1}}\right)^{2}S_{1}=
=\frac{1}{4}\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}-1\right)^{2}S_{1}=\frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1}}}-1\right)^{2}S_{1}=\frac{1}{4}(\sqrt{S_{2}}-\sqrt{S_{1}})^{2}.