3232. Периметры треугольников ABM
, BCM
и ACM
, где M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, равны. Докажите, что треугольник правильный.
Указание. К большей стороне треугольника проведена меньшая медиана.
Решение. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— медианы треугольника ABC
. Предположим, что BC\gt AC
. Тогда AA_{1}\lt BB_{1}
, так как к большей стороне треугольника проведена меньшая медиана (см. задачу 3537). Поэтому
MA=\frac{2}{3}AA_{1}\lt\frac{2}{3}BB_{1}=MB.
Значит, MA+MC+AC\lt MB+MC+BC
, т. е. периметр треугольника ACM
меньше периметра треугольника BCM
, что противоречит условию задачи. Аналогично для BC\lt AC
. Следовательно, BC=AC
. Аналогично AB=BC
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.3, с. 261
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.3, с. 253