3537. Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.
Указание. Примените теорему косинусов или формулу для медианы треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть BK
и CM
— медианы треугольника ABC
, O
— их точка пересечения и AC\gt AB
. Обозначим OM=x
, OK=y
. Тогда OC=2x
, OB=2y
.
По теореме косинусов из треугольников MOB
и KOC
находим, что
BM^{2}=x^{2}+4y^{2}-4xy\cos\angle MOB,~CK^{2}=4x^{2}+y^{2}-4xy\cos\angle KOC.
Поскольку BM=\frac{1}{2}AB
, KC=\frac{1}{2}AC
, то
BM^{2}\lt KC^{2},~\mbox{или}~x^{2}+4y^{2}\lt4x^{2}+y^{2}~(\angle MOB=\angle KOC).
Отсюда следует, что x\gt y
. Поэтому CM=3x\gt3y=BK
.
Второй способ. Пусть BK
и CM
— медианы треугольника ABC
, O
— их точка пересечения и AC\gt AB
.
Проведём медиану AN
. В треугольниках ANB
и ANC
сторона AN
— общая, BN=CN
, а AB\lt AC
, поэтому \angle ANB\lt\angle ANC
(см. задачу 3606).
В треугольниках ONB
и ONC
сторона ON
— общая, BN=CN
, а \angle ONB\lt\angle ONC
, поэтому OB\lt OC
. Следовательно,
BK=\frac{3}{2}OB\lt\frac{3}{2}OC=CM.