3233. Пусть m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
— медианы треугольника, проведённые из вершин соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leqslant\frac{27}{4}R^{2};~~\mbox{б)}~9r\leqslant m_{a}+m_{b}+m_{c}\leqslant\frac{9}{2}R.
Решение. а) Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан. Тогда
AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO})^{2}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MO})^{2}+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MO})^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+3MO^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{0}+3MO^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+3MO^{2}\geqslant AM^{2}+BM^{2}+CM^{2},
или 3R^{2}\geqslant\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})
. Следовательно,
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leqslant\frac{27}{4}R^{2}.
Что и требовалось доказать.
б) Из неравенства 9r\leqslant h_{a}+h_{b}+h_{c}
(см. задачу 3585) и очевидного неравенства h_{a}+h_{b}+h_{c}\leqslant m{a}+m_{b}+m_{c}
следует, что m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant9r
.
Докажем, что для любых чисел a
, b
и c
верно неравенство
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}.
Действительно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}~\Leftrightarrow~3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}\geqslant(a+b+c)^{2}~~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac\geqslant0~~\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.
Что и требовалось доказать.
Применяя доказанное неравенство к числам m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
, а также результат пункта а), получим, что
(m_{a}+m_{b}+m_{c})^{2}\leqslant3(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})\leqslant3\cdot\frac{27}{4}R^{2}=\frac{81}{4}R^{2}.
Следовательно,
m_{a}+m_{b}+m_{c}\leqslant\frac{9}{2}R.