3265. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны, равные a
, b
, c
соответственно; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся этих сторон; R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что
\frac{r_{a}r_{b}r_{c}}{h_{a}h_{b}h_{c}}=\frac{R}{2r}.
Указание. Примените формулы площади треугольника: S=\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}
и S=\frac{abc}{4R}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда S^{2}=rr_{a}r_{b}r_{c}
(см. задачу 6144), а так как
S=\frac{abc}{4R},~h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},
то
\frac{r_{a}r_{b}r_{c}}{h_{a}h_{b}h_{c}}=\frac{\frac{S^{2}}{r}}{\frac{2S}{a}\cdot\frac{2S}{b}\cdot\frac{2S}{c}}=\frac{abc}{8Sr}=\frac{4RS}{8Sr}=\frac{R}{2r}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Из доказанного равенства и неравенства R\geqslant2r
(см. задачу 3587) следует, что \frac{r_{a}r_{b}r_{c}}{h_{a}h_{b}h_{c}}\geqslant1
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.