3267. Многоугольник, описанный около окружности радиуса r
, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r
.
Указание. Если внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник, то периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего (см. задачу 3266).
Решение. Пусть r_{1}
, r_{2}
, …, r_{n}
— радиусы вписанных окружностей этих треугольников, P_{1}
, P_{2}
, …, P_{n}
— их периметры, а S_{1}
, S_{2}
, …, S_{n}
— площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через S
и P
соответственно. Тогда P_{i}\lt P
(см. задачу 3266), поэтому
r_{1}+r_{2}+\dots+r_{n}=\frac{2S_{1}}{P_{1}}+\frac{2S_{2}}{P_{2}}+\dots\frac{2S_{n}}{P_{n}}\gt\frac{2S_{1}}{P}+\frac{2S_{2}}{P}+\dots\frac{2S_{n}}{P}=\frac{2S}{P}=r.
Что и требовалось доказать.
Автор: Новиков И. Д.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 2, с. 42, М126; 1972, № 10, с. 40, M126
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.53, с. 89
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.54, с. 87