3267. Многоугольник, описанный около окружности радиуса r
, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r
.
Указание. Если внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник, то периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего (см. задачу 3266).
Решение. Пусть r_{1}
, r_{2}
, …, r_{n}
— радиусы вписанных окружностей этих треугольников, P_{1}
, P_{2}
, …, P_{n}
— их периметры, а S_{1}
, S_{2}
, …, S_{n}
— площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через S
и P
соответственно. Тогда P_{i}\lt P
(см. задачу 3266), поэтому
r_{1}+r_{2}+\dots+r_{n}=\frac{2S_{1}}{P_{1}}+\frac{2S_{2}}{P_{2}}+\dots\frac{2S_{n}}{P_{n}}\gt\frac{2S_{1}}{P}+\frac{2S_{2}}{P}+\dots\frac{2S_{n}}{P}=\frac{2S}{P}=r.
Что и требовалось доказать.