3281. Точка M
— середина стороны BC
квадрата ABCD
, точка N
— середина отрезка MD
. В каком отношении окружность, описанная около треугольника BMN
, делит: а) сторону AB
квадрата; б) отрезок AM
?
Ответ. а) 1:7
; б) 1:9
.
Указание. а) Докажите, что треугольник DEM
равнобедренный.
б) Примените теорему о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636).
Решение. а) Пусть описанная окружность треугольника BMN
пересекает сторону AB
в точке E
. Поскольку \angle MBE=90^{\circ}
, отрезок ME
— диаметр этой окружности. Точка N
лежит на окружности с диаметром ME
, поэтому \angle MNE=90^{\circ}
.
Медиана EN
треугольника DEM
является его высотой, поэтому треугольник DEM
равнобедренный, EM=ED
.
Пусть сторона квадрата равна 2a
. Обозначим AE=x
. Тогда
BM=a,~BE=2a-x,~EM^{2}=BM^{2}+BE^{2}=a^{2}+(2a-x)^{2},
ED^{2}=AE^{2}+AD^{2}=x^{2}+4a^{2}.
Из уравнения a^{2}+(2a-x)^{2}=x^{2}+4a^{2}
находим, что AE=x=\frac{1}{4}a
. Тогда BE=2a-x=\frac{7}{4}a
. Следовательно, AE:BE=1:7
.
б) Из прямоугольного треугольника ABM
находим, что BM=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5}
.
Пусть описанная окружность треугольника BMN
пересекает отрезок AM
в точке F
. Из точки A
проведены две секущие AFM
и AEB
к окружности, поэтому AF\cdot AM=AE\cdot AB
, или
(a\sqrt{5}-AF)\cdot a\sqrt{5}=\frac{1}{4}a\cdot2a.
Из этого уравнения находим, что AF=\frac{9a\sqrt{5}}{10}
. Тогда BE=a\sqrt{5}-\frac{9a\sqrt{5}}{10}=\frac{a\sqrt{5}}{10}
. Следовательно, AE:BE=1:9
.