3282. Через точку K
, данную на стороне AB
треугольника ABC
, проведите прямую так, чтобы она разделила площадь треугольника в отношении 1:2
.
Указание. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Четырёхугольники, прилежащие к боковым сторонам равновелики.
Решение. Если точка K
делит сторону AB
в отношении AK:KB=1:2
, то одно из решений даёт прямая CK
(рис. 1), так как
S_{\triangle AKC}:S_{\triangle BKC}=AK:KC=1:2,
а второе — прямая KL
, где L
— середина сторона BC
(рис. 2), так как
S_{\triangle BKL}=\frac{1}{2}S_{\triangle AKC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.
Пусть P
— точка на стороне AB
, для которой AP:PB=1:2
, а точка K
лежит между A
и P
. Первое решение даёт прямая, проходящая через точку P
параллельно CK
(рис. 3). Эта прямая пересекает сторону BC
. Пусть M
— точка пересечения, O
— точка пересечения диагоналей CP
и KM
трапеции CKPM
. Тогда S_{\triangle OKP}=S_{\triangle OCM}
(см. задачу 3017) и S_{\triangle BCP}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}
, поэтому
S_{\triangle BKM}=S_{BPOM}+S_{\triangle OKP}=S_{BPOM}+S_{\triangle OCM}=S_{\triangle BPC}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}.
Следовательно, S_{AKMC}:S_{\triangle BKM}=1:2
.
Второе решение даёт прямая, проходящая через точку Q
(AQ:QB=2:1
) параллельно CK
(рис. 4). Эта прямая пересекает сторону BC
некоторой точке N
. Пусть T
— точка пересечения диагоналей CQ
и KN
трапеции CKQN
. Тогда
S_{\triangle TKQ}=S_{\triangle TCN},~S_{\triangle BCQ}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC},
поэтому
S_{\triangle BKN}=S_{BQTN}+S_{\triangle TKQ}=S_{BQTN}+S_{\triangle TCN}=S_{\triangle BCQ}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.
Следовательно, S_{\triangle BKN}:S_{AKNC}=1:2
.
Аналогично для остальных случаев расположения точки K
на стороне AB
.
Примечание. Аналогично решается задача для любого данного отношения площадей.