3317. На сторонах прямоугольного треугольника с катетами
a
и
b
построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов.
Ответ.
\frac{(a+b)^{2}}{4}
.
Решение. Пусть
ABC
— данный прямоугольный треугольник с катетами
BC=a
,
AC=b
и гипотенузой
AB
,
O_{1}
,
O_{2}
и
O_{3}
— центры квадратов
ABMN
,
AKLC
и
BCEF
, построенных внешним образом на гипотенузе и катетах
AC
и
BC
соответственно (рис. 1).
CO_{2}
и
CO_{3}
— биссектрисы вертикальных углов, поэтому точки
O_{2}
,
C
и
O_{3}
лежат на одной прямой и
O_{2}O_{3}=CO_{3}+CO_{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.

Пусть
P
— проекция точки
M
на прямую
BC
,
R
— проекция точки
N
на прямую
AC
, а
Q
— точка пересечения прямых
MP
и
NR
. Тогда
CPQR
— квадрат со стороной
a+b
, его центр совпадает с центром
O_{1}
квадрата
ABMN
,
CO_{1}
— половина диагонали квадрата
CPQR
,
CO_{1}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}
, а так как
CO_{1}
— биссектриса прямого угла
ACP
(см. задачу 52), то
\angle O_{1}CO_{2}=\angle O_{1}CA+\angle O_{2}CA=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ},

т. е.
O_{1}C
— высота треугольника
O_{1}O_{2}O_{3}
. Следовательно,
S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}=\frac{1}{2}O_{2}O_{3}\cdot O_{1}C=\frac{1}{2}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}=\frac{(a+b)^{2}}{4}.


Примечание. То, что центр квадрата
CPQR
совпадает с центром квадрата
ABMN
следует из более общего утверждения: если вершины одного параллелограмма расположены по одной на сторонах другого, то центры параллелограммов совпадают.
Действительно, пусть вершины
X
,
Y
,
Z
и
T
параллелограмма
XYZT
расположены соответственно на сторонах
AB
,
BC
,
CD
и
AD
параллелограмма
ABCD
(рис. 2), а отрезки
AC
и
YT
пересекаются в точке
O
. Из равенства треугольников
CYZ
и
ATX
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что
CY=AT
, значит, треугольники
COY
и
AOT
также равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому
OY=OT
и
AO=OC
, т. е.
O
— общая середина диагонали
YT
параллелограмма
XYZT
(центр этого параллелограмма) и диагонали
AC
параллелограмма
ABCD
(центр
ABCD
). Что и требовалось доказать.