3407. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. Биссектриса внешнего угла при вершине C
пересекает прямые AB
и A_{1}B_{1}
в точках L
и K
соответственно. Оказалось, что CL=2CK
. Найдите угол C
треугольника.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Будем считать, что точка L
лежит на продолжении стороны AB
за точку B
.
Докажем, что точка C
лежит между K
и L
. Допустим, что это не так (рис. 1). Тогда, если P
— точка на продолжении стороны AC
за точку C
, а Q
— точка на продолжении стороны AB
за точку A
, то
\angle A_{1}CK=\angle LCP,~\angle CA_{1}K=180^{\circ}-\angle CA_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle CAB=\angle CAQ,
значит, сумма двух углов треугольника CA_{1}K
равна сумме двух внешних углов треугольника ACL
, т. е. больше 180^{\circ}
. Что невозможно. таким образом, точка C
лежит между K
и L
(рис. 2).
Треугольник CA_{1}B_{1}
подобен треугольнику CAB
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{CA_{1}}{CA}=\cos\angle C
(см. задачу 19). Рассмотрим треугольники CAL
и CA_{1}K
. Их углы при вершине C
равны, так как KL
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
. Их углы при вершинах A
и A_{1}
равны как соответствующие углы подобных треугольников CAB
и CA_{1}B_{1}
. Значит, треугольники CAL
и CA_{1}K
подобны. Поэтому
\frac{1}{2}=\frac{CK}{CL}=\frac{CA_{1}}{CA}=\cos\angle C.
Следовательно, \angle C=60^{\circ}
.