3419. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
на стороне AB
взята такая точка E
, что \frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}
. Точка H
— проекция точки D
на прямую CE
. Докажите, что AH=AD
.
Решение. Пусть прямые CE
и AD
пересекаются в точке F
. Треугольники AEF
и BEC
подобны по двум углам, поэтому \frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}
. Значит, AF=AD
, т. е. точка A
— середина гипотенузы DF
прямоугольного треугольника DHF
. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), следовательно, AH=\frac{1}{2}DF=AD
. Что и требовалось доказать.