3420. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка D
. Произвольный луч l
, выходящий из вершины B
, пересекает отрезок AC
в точке K
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке L
. Докажите, что описанная окружность треугольника DKL
проходит через фиксированную точку, отличную от D
и не зависящую от выбора луча l
.
Решение. Предположим, что точка K
лежит между A
и D
. Через вершину B
треугольника ABC
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке P
(если треугольник ABC
равнобедренный, то точка P
совпадает с B
), а луч PD
пересекает окружность в точке Q
. Докажем, что четырёхугольник LKDQ
— вписанный. Это будет означать, что окружность, описанная около треугольника DKL
, проходит через точку Q
.
Обозначим через \alpha
— величину дуги AP
, не содержащей точки C
, а через \beta
— величину дуги CQ
, не содержащей точки B
. Тогда величина дуги BC
, не содержащей точки A
также равна \alpha
(дуги, заключённые между параллельными хордами, равны). Хорды AC
и PQ
пересекаются в точке D
, поэтому \angle ADP=\frac{\alpha+\beta}{2}
(см. задачу 26). Вписанный угол BLQ
опирается на дугу BCQ
, поэтому
\angle KLQ=\angle BLQ=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta=\angle ADP,
значит, \angle KLQ+\angle KDQ=180^{\circ}
. Следовательно, четырёхугольник LKDQ
— вписанный. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка K
лежит между D
и C
.
