3429. Две стороны треугольника равны 13 и 26, а медиана, проведённая к большей из них, равна 10. Найдите третью сторону и площадь треугольника.
Ответ. 3\sqrt{41}
; 120.
Решение. Пусть BM=10
— медиана треугольника ABC
со сторонами AB=13
, AC=26
. На продолжении BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM=10
. Тогда ABCD
— параллелограмм со сторонами CD=AB=13
, AD=BC
и диагоналями AC=26
и BD=20
. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, т. е. AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}
(см. задачу 4011). Значит,
BC^{2}=\frac{1}{2}(AC^{2}+BD^{2}-2AB^{2})=\frac{1}{2}(676+400-2\cdot169)=338+200-169=369.
Следовательно, BC=\sqrt{369}=3\sqrt{41}
.
Поскольку AM=13=AB
, треугольник ABM
равнобедренный. Его высота AH
является медианой, поэтому
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{169-25}=12.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABM}=BM\cdot AH=10\cdot12=120.