3487. На каждой стороне равностороннего треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках соответственно перпендикулярны сторонам исходного треугольника.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в указанных точках также равносторонний.
б) Найдите отношение площади этого треугольника к площади исходного
Ответ. 1:3
.
Решение. а) Пусть точки K
, L
, M
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
и AC
равностороннего треугольника ABC
, причём KL\perp BC
, LM\perp AC
, MK\perp AB
. Тогда
\angle MKL=180^{\circ}-\angle AKM-\angle LKB=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Аналогично \angle KML=60^{\circ}
. Значит, треугольник KLM
также равносторонний.
б) Прямоугольные треугольники AKM
, BLK
и CML
равны по гипотенузе и острому углу, а так как CM=AK=\frac{1}{2}AM
, то CM:AM=1:2
. Аналогично AK:KB=BL:LC=1:2
. Тогда
S_{\triangle CML}=S_{\triangle BKL}=S_{\triangle AKM}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{9}S_{\triangle ABC}
(см. задачу 3007),
S_{\triangle KLM}=S_{\triangle ABC}-3S_{\triangle AKM}=S_{\triangle ABC}-\frac{2}{3}S_{\triangle AKM}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.
Следовательно, \frac{S_{\triangle KLM}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. —