3496. BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, M
— середина стороны BC
. Докажите, что прямые MB_{1}
и MC_{1}
касаются окружности, описанной около треугольника AB_{1}C_{1}
.
Решение. Первый способ. Пусть высоты треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Это и есть окружность, описанная около треугольника AB_{1}C_{1}
. Её центр E
— середина отрезка AH
.
Пусть AA_{1}
— третья высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Отрезок B_{1}M
— медиана прямоугольного треугольника BB_{1}C
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому \angle CB_{1}M=\angle MCB_{1}=\gamma
. Отрезок B_{1}E
— медиана прямоугольного треугольника AB_{1}H
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому \angle AB_{1}E=\angle EAB_{1}=90^{\circ}-\gamma
. Тогда
\angle EB_{1}M=180^{\circ}-\angle CB_{1}M-\angle AB_{1}E=180^{\circ}-\gamma-(90^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}.
Прямая MB_{1}
проходит через точку B_{1}
, лежащую на описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
, и перпендикулярна радиусу EB_{1}
, проведённому в точку B_{1}
. Следовательно, MB_{1}
— касательная к этой окружности. Аналогично для точки C_{1}
.
Второй способ. Пусть высоты треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Это и есть окружность, описанная около треугольника AB_{1}C_{1}
. Её центр E
— середина отрезка AH
.
Пусть AA_{1}
— третья высота треугольника ABC
. Точки M
, A_{1}
, B_{1}
, E
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), а так как \angle EA_{1}M=90^{\circ}
, то EM
— диаметр этой окружности. Значит, \angle EB_{1}M=90^{\circ}
. Прямая MB_{1}
проходит через точку B_{1}
, лежащую на описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
, и перпендикулярна радиусу EB_{1}
, проведённому в точку B_{1}
. Следовательно, MB_{1}
— касательная к этой окружности. Аналогично для точки C_{1}
.