3526. Диагональ AC
разбивает выпуклый четырёхугольник ABCD
на две равновеликие части. Докажите, что если AB\gt AD
, то BC\lt DC
.
Указание. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а угол между этими сторонами в первом треугольнике больше соответствующего угла во втором, то третья сторона второго треугольника меньше соответствующей стороны первого (см. задачу 3606).
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Равновеликие треугольники ABC
и ADC
имеют общее основание AC
. Поэтому их высоты BN
и DK
равны. Тогда из равенства прямоугольных треугольников DKM
и BNM
следует, что BM=MD
.
В треугольниках AMD
и AMB
сторона AM
— общая, DM=MB
, а AD\lt AB
. Поэтому \angle AMD\lt\angle AMB
. Тогда \angle BMC\lt\angle CMD
.
В треугольниках BMC
и CMD
сторона CM
— общая, DM=MB
, а \angle BMC\lt\angle CMD
. Следовательно, BC\lt DC
(см. задачу 3606).
Источник: Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974. — № 102, с. 20
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.101, с. 230
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — пример 6, с. 96