3539. Докажите, что большему из двух острых вписанных углов соответствует большая хорда.
Решение. Первый способ. Пусть R
— радиус окружности, \alpha
— величина вписанного угла (\alpha\lt90^{\circ}
), a
— длина соответствующей хорды. Тогда a=2R\sin\alpha
.
При возрастании \alpha
от 0^{\circ}
до 90^{\circ}
\sin\alpha
возрастает, следовательно, возрастает и a
.
Второй способ. Пусть \angle BAC\lt\angle LKM\lt90^{\circ}
— углы, вписанные в окружность с центром O
(BC
и LM
— хорды этой окружности). В треугольниках OBC
и OLM
:
OB=OL,~OC=OM,~\angle BOC=2\angle BAC\lt2\angle LKM=\angle LOM.
Следовательно, BC\lt LM
(см. задачу 3606).