3549. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Ответ. 4 или 5.
Указание. Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его противоположных сторон.
Решение. Для n=4
и n=5
такие n
-угольники существуют: это квадрат и правильный пятиугольник. Докажем, для n\gt5
таких n
-угольников быть не может.
Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
равны, и n\geqslant6
. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник A_{1}A_{2}A_{4}A_{5}
. Сумма его диагоналей A_{1}A_{4}
и A_{2}A_{5}
больше суммы противоположных сторон A_{2}A_{4}
и A_{1}A_{5}
(см. задачу 3516), что невозможно, так как по предположению эти суммы равны.
Автор: Гальперин Г. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1974, XXXVII, 2-й тур, 7 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 13, с. 129
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 9, с. 42, М281
Источник: Задачник «Кванта». — М281
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.18, с. 229
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.19, с. 223