3549. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Ответ. 4 или 5.
Указание. Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его противоположных сторон.
Решение. Для n=4
и n=5
такие n
-угольники существуют: это квадрат и правильный пятиугольник. Докажем, для n\gt5
таких n
-угольников быть не может.
Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
равны, и n\geqslant6
. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник A_{1}A_{2}A_{4}A_{5}
. Сумма его диагоналей A_{1}A_{4}
и A_{2}A_{5}
больше суммы противоположных сторон A_{2}A_{4}
и A_{1}A_{5}
(см. задачу 3516), что невозможно, так как по предположению эти суммы равны.