3557. Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь четырёхугольника не превосходит 1.
Указание. См. задачу 11133.
Решение. Пусть a
, b
, c
, d
— последовательные стороны данного четырёхугольника, \alpha
, \beta
, \gamma
, \delta
— углы между соседними сторонами (\alpha
— угол между сторонами a
и b
, \beta
— между b
и c
и т. д.), S
— его площадь четырёхугольника. Тогда
2S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha+\frac{1}{2}bc\sin\beta+\frac{1}{2}cd\sin\gamma+\frac{1}{2}ad\sin\delta\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}(ab+bc+cd+ad)=\frac{1}{2}(a+c)(b+d)\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}\left(\frac{(a+c)+(b+d)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot16=2.
Следовательно S\leqslant1
. Заметим, что площадь квадрата с периметром 4 равна 1.